14 Desember 2009

TUGAS GEODAS II

7-1 Teorema Pythagoras

Salah satu teorema yang paling terkenal dan paling berguna dalam bidang Geometri adalah Teorema Pythagoras. Diberi nama setelah ahli matematika Yunani, Pythagoras.

Teorema ini menyatakan bahwa luas daerah di atas sisi hipotenus dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah dari luas daerah di atas kaki-kaki dari segitiga tersebut.

Pada contoh 1-3, temukan cara untuk menghitung bagian terkecil persegi untuk menunjukkan bahwa luas daerah persegi A dan B sama dengan luas daerah dari persegi C pada sisi miring.

Gambar bisa dilihat di makalah.


Teorema 7-1

Teorema Pythagoras : Jika Δ ABC adalah segitiga siku-siku, maka kuadrat dari panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisinya.

BUKTI

Diberikan : Segitiga siku-siku ACB dengan panjang hipotenuse c dan panjang kaki - kakinya a dan b.

Buktikan : = +

Analisis : Buatlah persegi di atas Δ ABC seperti contoh di atas. Persegi di atas a mempunyai luas . Persegi di atas b mempunyai luas . Persegi di atas c mempunyai luas . Persegi di atas sisi c terdiri dari empat segitiga yang kongruen dengan Δ ABC dan sebuah persegi.

Gambar di atas menunjukan bahwa panjang sisi dari persegi kecil adalah a – b. Kita dapat mengetahui luas persegi besar dengan menambahkan luas dari ke empat segitiga dan luas persegi kecil. Luas segitiga adalah ½ ab . Luas persegi adalah (a – b)².

Gambar bisa dilihat di makalah.


Teorema 7-2

Jika Δ ABC mempunyai sisi a, b, dan c dan = + , maka Δ ABC adalah segitiga siku-siku.

Contoh :

Δ ABC adalah segitiga siku-siku , karena

(√7)² + 1²= (2√2)²

7 + 1 = 8






7-2 Segitiga – Segitiga Istimewa


Gambar dan tabel disebelah kanan menunjukan dimensi dan spesifikasi untuk 2 macam sekrup mesin yang berbeda.

Dimensi yang bertanda F menjelaskan ukuran kunci sekrup yang dibutuhkan untuk sekrup. Bagaimana dimensi

G dapat dihitung? Pengetahuan dari sudut-sudut 45º -45º -90º dan 30º -60º -90º dalam segitiga akan membantu perhitungan ini.



Teorema 7-3

Panjang sisi miring dari segitiga yang mempunyai sudut 45º , 45º, 90º adalah √2 kali panjang kakinya.


(AB)² = x² + x²

≡ (AB)² = 2x²

≡ (AB) = √2x²

≡ (AB) = x√2





Contoh 1:




1. ∠B dan ∠C harus 45º
2. Dengan menggunakan Teorema 7-3, x√2= 12

Jadi x
= 12/√2√2/√2 = 12√2/2 = 6√2






Teorema 7-4

Panjang dari sisi dari segitiga siku-siku yang lebih panjang dari segitiga dengan sudut 30º, 60º, 90º adalah √3 / 2 kali panjang dari sisi miringnya atau √3 kali panjang sisi yang lebih pendek.

a² = (BD)² + (1/2 a)²

(BD)
² = a² - a²/4 = a² (1 - 1/4)

BD =
3/4 a = (√3). (a/2 )

BD = √3 / 2 ( a)

7-3 Teorema Kekonkurenan Dalam Segitiga

Sebuah pabrik menghasilkan sebuah produk yang utamanya terjual di 3 kota besar. Sebuah pabrik baru yang terletak pada jarak yang sama dari masing-masing 3 kota. Bagaiman lokasi pabrik baru tersebut dapat ditemukan?

Penjelasan dibawah ini menjawab pertanyaan tersebut.

Buatlah garis tegak yang membagi dua sisi sisi dari sebuah segitiga.

Bagaimana perbandingan OA, OB, dan OC ?

Bagaimana perbandingan OD, OE, dan OF ?

Bagaimana perbandingan OG, OH, dan OI ?

Teorema 7-5

Garis bagi yang tegak lurus dari sisi sebuah segitiga berpotongan pada titik O yang berjarak sama dari ke tiga titik sudut segitiga.

BUKTI

Diberikan : Δ ABC dengan garis bagi yang tegak lurus l,l' dan l”.

Buktikan : l,l' dan l” adalah melalui satu titik pada titik O dan bahwa

OA = OB = OC.

Gambar bisa dilihat di makalah.

Pernyataan dan Alasan :

1. l adalah garis bagi yang tegak lurus dari AB. (Diketahui)

2. l’ adalah garis bagi yang tegak lurus dari BC. (Diketahui)

3. l dan l’ berpotongan

pada titik O. (Jika AB BC , maka l ║ l’ )

4. OA = OB. (Sebuah titik pada garis bagi yang tegak lurus adalah berjarak sama dari titik akhirnya.)

5. OB = OC.(Mengapa? Karena berdasarkan postulat SAS)

6. OA = OC.(Sifat transitif)

7. O adalah pada garis bagi yang tegak lurus dari AC .

(Sebuah titik berjarak sama dari dua titik adalah terletak pada garis bagi yang tegak lurus dari ruas garis yang ditentukan oleh titik tersebut)

8. O terletak pada l, l’, l” dan OA = OB = OC. (Pernyataan 4-8)


Gambar bisa dilihat di makalah.


Teorema 7-6

Garis bagi sudut dari sudut pada sebuah segitiga adalah melalui satu titik yaitu pada titik I yang berjarak sama dari ke tiga sisi dari segitiga.

Titik yang ditentukan oleh garis bagi yang tegak lurus (Teorema 7-5) dan garis bagi sudut (Teorema 7-6) adalah di tengah lingkaran yang

mempunyai hubungan istimewa dengan segitiga.

Lingkaran O memuat tiga titik sudut dari Δ ABC. Titik tengah adalah titik dari perpotongan garis bagi yang tegak lurus. Jari-jarinya adalah OA. Lingkaran O disebut lingkaran yang membatasi.

Lingkaran I menyinggung setiap sisi

dari Δ RST secara pasti pada satu titik. Titik tengah adalah titik dari perpotongan garis bagi sudut sebuah segitiga. Jari-jarinya adalah IW. Lingkaran I disebut lingkaran yang dibatasi.

Jika kamu menggambar sebuah segitiga dan ke tiga garis tingginya, kamu akan melihat bahwa garis yang berisikan garis tinggi adalah kongkuren (melalui satu titik).




Teorema 7-7

Garis yang terdiri dari garis tinggi sebuah segitiga berpotongan pada sebuah titik.

Untuk beberapa segitiga ada tiga ruas garis yang disebut garis tengah.

Definisi 7-1

Garis tengah dari sebuah segitiga adalah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik puncak ke titik tengah dari sisi yang berlawanan.

Jika kamu menggambar tiga garis tengah dari sebuah segitiga, kamu akan melihat bahwa ke tiga garis tengah juga kongkuren (melalui satu titik).

Ada juga hubungan menarik lainnya.

Gambar bisa dilihat di makalah.

Bagaimana perbandingan AG dan AX ?

AG : AX = 4 : 6 = 2 : 3

Bagaimana perbandingan BG dan BY ?

BG : BY = 6 : 9 = 2 : 3

Bagaimana perbandingan CG dan CZ ?

CG : CZ = 7 : 10,5 = 2 : 3

Teorema berikut ini dinyatakan tanpa bukti.

Teorema 7-8

Garis tengah pada sebuah segitiga berpotongan pada satu titik, sehingga dua per tiga dari masing-masing titik puncak ke sisi yang berlawanan.